容斥原理（二进制枚举实现）

1、什么是容斥原理？

​ 容斥原理是一种计数的方法：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

​ 注：也可以将容斥定理描述为：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分………依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。（可以理解为就是先把所有单个集合全加一遍然后再去重）

​ 为了直观的表达，可以采用韦恩图表示：

那么可以清晰的观察到：$A\cup B=A+B-A\cap B$

那么再增加一个集合C，结果又会怎么样喃？

同理我们可以得出以下结论：

$A\cup B\cup C=A+B+C-A\cap B-A\cap C-C\cap B +A\cup B\cup C$

………..

通过不断地增加集合的数量，最终可以得出容斥原理的一个重要公式。

1.1、容斥原理公式

$$|\cup_{i=1}^{n}A_i|=\sum_{i=1}^{n}|A_i|-\sum_{i,j:1\leq i\leq j\leq n}|A_i\cap A_j|+\sum_{i,j,k:1\leq i\leq j\leq k\leq n}|A_i\cap A_j\cap A_k|-..+(-1)^{n-1}|A_1\cap ..\cap A_n|$$

2、二进制枚举

2.1、前提定理：

​ 含有N个元素的集合的一切子集的个数为$2^n$

$$证明:\\ 含有0个元素的子集有：C_n^0 \\ 含有1个元素的子集有：C_n^1 \\ 含有2个元素的子集有：C_n^2 \\ 含有3个元素的子集有：C_n^3 \\ ....\\ 含有n个元素的子集有：C_n^n\\ 所以：一切子集的总个数为：C_n^0+C_n^1+....C_n^n\\ 由二项式定理可得\sum_{i=0}^{n}c_n^i=2^n$$

2.2、如何枚举出N个元素的集合的所有子集？

利用二进制的特性，由于二进制是01字符串，故我们可以用二进制数的每一位表示某个集合是否被选中（1表示该集合被选中，0表示该集合没有被选中）

如以下的例子：

集合编号	1	2	3
二进制	1	0	1
状态	选	不选	选

2.3、原理

由于我们已经知道$n$个元素的集合的子集一共有$2^n$个，而长度为n的二进制数表示的范围为$[0,2^{n}-1]$，在这个区间上正好有$2^n$个数，所以这每个数也正好可以表示每个集合。

例如：二进制011表示选择了2、3集合

2.4、巧妙利用位运算实现代码

​ 由于我们在进行操作时，是遍历二进制的十进制表示形式，如果我们将它转化为二进制再来枚举每一位，会非常麻烦。为了便于判断，因此采用先左移（<<）再进行位与运算符（&）

​ 1进行左移几位之后，将变成000100…00的形式；又因为&运算是在同一位上同时为1才为1，所以进行&运算后可以知道此时左移的位数上的集合是否被选中。

代码实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < (1<<n); i++) //从0～2^n-1个状态
    {
        for(int j = 0; j < n; j++) //遍历二进制的每一位
        {
            if(i & (1 << j))//判断二进制第j位是否存在
            {
                //相关集合操作
            }
        }
    }
    return 0;
}

3、二进制枚举实现容斥定理

我们已经知道容斥定理的公式：

$$|\cup_{i=1}^{n}A_i|=\sum_{i=1}^{n}|A_i|-\sum_{i,j:1\leq i\leq j\leq n}|A_i\cap A_j|+\sum_{i,j,k:1\leq i\leq j\leq k\leq n}|A_i\cap A_j\cap A_k|-..+(-1)^{n-1}|A_1\cap ..\cap A_n|$$

观察这个容斥的式子可以发现，每个元素同样有是否被选中的性质，因此可以用二进制枚举。

首先枚举N个元素的集合的所有子集：

for(int i=1;i<(1<<lena);i++)

然后枚举每一位

for (int j = 0; j < n; j++)

由于容斥定理的式子中有子集中元素的数量这一重要的因子，因此我们要利用变量$cnt$记录此时该子集中元素的数量

if ((1 << j) & i)
{                
    tmp++;       
    lcm *= a[j]; 
}

枚举完每一位后，我们需要将答案统计起来

此时通过容斥定理的式子可以发现，当子集中元素个数为偶数时为-;当元素个数为奇数时为+。

if (tmp % 2 == 1)
    ans += n / lcm; //奇数是加 偶数是减
else
    ans -= n / lcm;

例如：求n以内2、 3、 5、 7、 11的倍数有多少个？

完整代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
using namespace std;

int a[] = {2, 3, 5, 7, 11};
int main()
{
    int n;
    int lena = 5;
    int ans = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < (1 << lena); i++)
    {
        ///每个数都有2种状态 ，在或不在 ,意思是2，3，5，7，11的倍数或不是，
        ///一共有2^5-1种可能
        int tmp = 0;
        int lcm = 1;
        for (int j = 0; j < lena; j++)
        {
            if ((1 << j) & i)
            {                ///选第j个b倍数子;与i的二进制的第j位比较，看是否为1，是则选中
                tmp++;       //标志变量计算i中1的个数，也就是倍数的个数
                lcm *= a[j]; ///相乘
            }
        }
        if (tmp % 2 == 1)
            ans += n / lcm; //奇数是加 偶数是减
        else
            ans -= n / lcm;
    }
    printf("%d\n", ans);
}