利用“矩阵”巧妙证明斐蜀定理

裴蜀定理，又称贝祖定理（Bézout’s lemma）。是一个关于最大公约数的定理。

其内容是：

$$设a，b是不全为零的整数，则存在整数 x，y, 使得 ax+by=gcd（a，b）$$

那么如何证明这个定理喃？？？

闲来无事，不小心用矩阵巧妙证明了这个定理O(∩_∩)O哈哈~

下面请看证明：

$$证明：将gcd（a，b）=gcd（b，a\ mod\ b）写成矩阵的形式，如下$$

这种递推式转换成矩阵的小技巧就是按照矩阵乘法来的，稍微观察便可以发现！！

将右边这一矩阵继续按照这种方式展开：

继续化简：

继续引入矩阵A：

然后通过矩阵的运算惊奇地发现：

这是什么？这是什么？这**不就是斐蜀定理吗？

$$等价于证明了方程ax+by=gcd（a，b）必有特解$$